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Il mio limite
Inserito il 21 dicembre 2014 alle 21:20:36 da polarprof.

Alla ricerca di una definizione soddisfacente

Nei libri di testo che ho usato ci sono alcune pagine dedicate alla definizione di limite, in cui si distinguono i vari casi che si creano con la presenza o meno dell'infinito. La cosa ha ovviamente un senso, però ho notato più volte che può creare della confusione negli allievi. Infatti negli esercizi in cui si deve dimostrare la correttezza di un limite ricorrendo alla definizione, spesso ho sentito dagli allievi (anche di liceo scientifico) richieste del tipo " .. ma qui devo usare epsilon o M ? " .

Nel tentativo di affrancarmi dagli epsilon e M e possibilmente di usare una unica definizione per tutti i casi, alla fine ho trovato una soluzione che non so quanto sia corretta, però ha praticamente migliorato la comprensione negli allievi.

L'idea di base è di spostare i casi sulla definizione di intorno: per gli allievi non è difficile descrivere sulla retta numerica un intorno di un numero o di infinito e anche di rappresentarlo mediante disequazioni (diciamo che qui nascono spontaneamente l'epsilon e l'M). Gli intorni vengono sempre descritti come intervalli aperti. Avendo introdotto anche il significato di immagine di un numero o di un intervallo, la definizione a cui sono giunto è questa:

la scrittura \( \lim_{x \to k }f(x)=L \) significa che ogni intorno di L contiene l'immagine di un intorno sinistro e di un intorno destro di k

dove k e L possono essere anche infiniti .

Naturalmente gli intorni vanno aggiustati un po' se il limite è solo da sinistra o da destra, ma la cosa è facilmente comprensibile.

La definizione data si traduce per gli allievi in queste fasi operative:

  • definisco un intorno di L e scrivo la disequazione o il sistema di disequazioni che mi dicono che l'immagine f(x) di x deve cadere in questo intorno
  • risolvo le disequazioni
  • controllo se nell'insieme delle soluzioni ci sono sia un intorno sinistro che un intorno destro di k

Durante la fase di risoluzione delle disequazioni può risultare utile ipotizzare che l'intorno di L sia più stretto di un certo valore (nei testi di Zwirner epsilon era piccolo a piacere) , ma è solo un modo per semplificare i calcoli.

 E' probabile che ci siano testi con qualcosa di simile e mi piacerebbe saperlo, come mi piacerebbe sapere se in questa definizione si nasconde qualche baco che non riesco a vedere.

 
  C.R.D.M. 
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