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Famola strana #1
Inserito il 05 gennaio 2016 alle 18:20:25 da polarprof.

Racconto dell'esperienza

Qualche tempo fa la lista di discussione Cabrinews ha ospitato un interessante scambio di messaggi sulla questione del perché meno per meno fa più. L'argomento mi ha richiamato alla memoria un'esperienza didattica che feci nei primi anni '90 in una classe prima di istituto professionale per operatori aziendali e turistici.

Insegnare matematica all'istituto professionale può essere deprimente per chi volesse trasmettere agli allievi la bellezza del rigore matematico, perché la maggioranza di loro viene indirizzata a questo tipo di scuola proprio perché ha difficoltà a seguire ragionamenti rigorosi; però se si rinuncia a questa pretesa si possono incontrare altre interessanti sfide didattiche. Ciò di cui ci si rende presto conto in questo tipo di scuola è che abilità basilari che in un liceo vengono date per scontate qui richiedono tempo e approcci innovativi per essere acquisite ad un livello soddisfacente. La fortuna è che, non essendovi lo spauracchio dello scritto all'esame di stato, non ci sono rigidi controlli su che cosa e come si insegna matematica, né da parte di genitori saputelli né da parte dei dirigenti, per cui è possibile trovare e sperimentare tecniche didattiche personali.

L'esperienza che qui racconto, una delle tante in cui mi discostai dai libri di testo e dalla tradizione didattica, ruota intorno alle problematiche sollevate dal simbolo - (meno), che viene usato in due differenti accezioni: come simbolo della sottrazione o come segno dei numeri. Per rendere le cose più chiare sarebbe opportuno avere due simboli diversi per le due funzioni, ed in effetti in qualche calcolatrice ci sono, non solo nei tasti di immissione ma anche nella rappresentazione a display; però ormai la situazione è consolidata e bisogna abituarcisi. Tuttavia questa ambivalenza mi ha sempre creato un certo disagio dal punto di vista didattico. Per esempio: nell'espressione a-b è naturale che il - sia interpretato come sottrazione, ma se per esigenze di calcolo la trasformo, lecitamente, in -b+a sorgono alcune domande: questo meno è lo stesso di prima? (difficile dirlo, perché questo non indica più una sottrazione); e il + da dove arriva? (visto che prima non c'era). Altro esempio: (a-b)*(c-d) ; i due meno indicano sottrazioni, ma quando moltiplichiamo diciamo agli studenti di trattarli come se fossero segni. Naturalmente dopo aver visto un po' di esempi gli studenti non si fanno tante domande e tutto, o quasi, fila liscio. Ma per i miei allievi non è così semplice: per molti di loro la gestione dei meno nella manipolazione delle espressioni è un'impresa che spesso comporta errori di segno, difficilmente eliminabili anche durante l'intero curricolo scolastico. Nella speranza di limitare questi errori quell'anno tentai una strada nuova che vado a descrivere.

Le mie titubanze sull'uso del meno iniziarono parecchi anni prima dell'esperienza che racconterò, quando mi accorsi che alcune allieve di prima superiore usavano scritture tipo 5*-7 senza nessuna parentesi. Sulle prime gridai al sacrilegio, convinto che non avesse senso scrivere due simboli di operazione attaccati. Ma ripensandoci con calma mi resi conto che non si generava alcuna confusione e da allora lasciai liberi gli studenti di omettere le parentesi nei casi in cui non si creasse indecisione, come per esempio in 5+-7 o 5--7 . Presi anzi spunto da questa questione per farli riflettere sul fatto che accanto alle usuali operazioni binarie ci sono anche quelle unarie, tra cui quella che genera l'opposto del suo operando e che sfortunatamente è indicata con lo stesso simbolo della sottrazione. Siccome il meno può indicare due operazioni, li abituai a distinguerle in base alla posizione nell'espressione: il meno unario è o all'inizio di un'espressione (quindi anche dopo una parentesi aperta) o dopo un altro simbolo di operazione. Identificare questo meno come operatore unario più che come segno mi sembrò anche una buona idea, perché in una scrittura come -x sarebbe arduo dire che il meno è il segno di x. L'unica difficoltà che incontrai è che questa operazione non ha un nome ufficiale, per quanto ne so, e spesso la chiamavo "negazione" anche se non mi sembrava del tutto corretto. In quegli anni temevo di essere uscito dall'ortodossia con questa decisione, ma mi confortai quando uscirono le calcolatrici con la notazione algebrica, che consentivano di scrivere a display un'intera espressione: anche i loro programmatori si erano confrontati con l'ambivalenza del meno e consentivano l'uso di due simboli attaccati, pur con due differenti approcci: mentre Sharp aveva due tasti diversi e due simboli leggermente diversi per i due meno e pretendeva che a seconda della posizione fosse usato quello corretto, Casio consentiva l'uso di un unico simbolo come facevo fare io a mano. Quando nel computer furono disponibili i C.A.S. tipo Derive o i fogli elettronici tipo Excel, che accettavano formule, in genere accettavano due simboli attaccati. Una curiosa eccezione si ha in Mathematica, che non accetta scritture del tipo a--b perché i due meno affiancati sono riservati a una nuova operazione unaria, mutuata dal linguaggio C. Un problema generato dall'assenza di parentesi riguarda la precedenza degli operatori: mentre per il meno unario e il per la cosa è indifferente, in quanto -a*b dà lo stesso risultato sia che si interpreti come (-a)*b o come -(a*b) , per il meno unario e la potenza bisogna stabilire chi viene prima: di solito la potenza ha la precedenza, per cui -3^2 fa -9, con l'eccezione di  Microsoft per la quale  -3^2=9. Analogamente al meno unario si potrebbe introdurre anche il più unario, però sarebbe un operatore che non fa niente, e infatti alcune calcolatrici non lo accettano.

Una frase che mi ha sempre intrigato nei manuali di algebra suona più o meno così:"la sottrazione tra due numeri relativi si esegue sommando al primo l'opposto del secondo", ossia a-b=a+-b, su cui ovviamente non c'è nulla da obiettare, salvo il fatto che negli esercizi non ho mai visto applicare questa regola. Il fatto che in pratica non si sostituisca un meno con due simboli appare una scelta di buon senso, rivolta a non complicare le scritture. Però d'altra parte può presentare dei vantaggi: eliminando la sottrazione, si elimina l'ambivalenza del meno, e si rimane con l'addizione, commutativa, e la "negazione" che ha proprietà abbastanza semplici. Quell'anno quindi volli provare a vedere che cosa succede applicando la sostituzione. Avevo una classe di sole ragazze, abbastanza attente ed impegnate, in genere con difficoltà nella manipolazione di espressioni. Dopo un'analisi della struttura delle espressioni e un po' di esercizio per distinguere le due valenze del meno, dissi più o meno così:"due operazioni indicate dal meno sono troppe, perciò, seguendo l'indicazione del testo, elimineremo le sottrazioni in questo modo: prima di iniziare a manipolare un'espressione letterale sostituite tutti i meno delle sottrazioni con la coppia +- ". In precedenza avevamo anche evidenziato le proprietà dell'operazione di "negazione", riassumibili così:
- l'opposto dell'opposto dà il numero originale, ossia --a=a, ovvero due meno consecutivi si eliminano a vicenda
- l'opposto di una somma è uguale alla somma degli opposti, -(a+b)=-a+-b, ossia la "negazione" è distributiva rispetto all'addizione
- l'opposto di un prodotto si ottiene sostituendo uno dei fattori con il suo opposto, -(a*b)=-a*b=a*-b, ovvero in un prodotto un meno unario si può spostare dalla sua posizione in un'altra qualsiasi.

Sulle prime credo di avere notato qualche perplessità, ma sono svanite rapidamente, perché le allieve si sono rese conto che sbagliavano molto meno i segni in quanto scomparivano le occasioni di incertezza in cui si erano trovate in precedenza. In effetti nel normale modo di procedere ci sono alcune situazioni in cui le mie allieve potevano avere delle indecisioni, come negli esempi seguenti.

Nel caso di a-3x non è infrequente che qualcuno applichi la commutativa scrivendo 3x-a; però se prima si trasforma in a+-3x, si applica la commutativa dell'addizione e viene correttamente -3x+a, con il vantaggio di non dover spiegare da dove arrivi il + che in origine non c'era.

Nel caso di un'espressione come 3x-2*(5x-4+y) una domanda  frequente è: nella moltiplicazione devo considerare -2 o solo 2? Io spiegavo che si potevano scegliere entrambe le strategie, solo che nel secondo caso bisognava conservare le parentesi e nel primo no; ma questo creava un po' di confusione e generava errori frequenti.

Una situazione in cui ho visto in imbarazzo anche studenti del liceo è questa: \( 5-3\cdot \frac{x-5}{2x+1} \) che molti studenti trasformano così \( 5 \frac{-3x+15}{2x+1} \), dimenticando di inserire un + e scrivendo una cosa senza senso; mentre non ci sarebbero problemi con la preventiva trasformazione della sottrazione in +- .

Quello che notai è che le allieve si sentivano più sicure, perché le regole erano chiare.

Con il passare del tempo, confrontandosi con le amiche di altre classi o i familiari, qualcuna mi fece notare che gli altri operavano in modo diverso, e io dissi che anche loro se volevano potevano fare come tutti gli altri, ma non c'era nulla di male ad operare come avevo suggerito; così qualcuna abbandonò la nuova via, ma altre restarono fedeli ritenendola più sicura.

Dopo la seconda abbandonai la classe  e per strani giri di cattedre la ripresi in quinta. Nel frattempo non avevo ripetuto l'esperienza nelle altre classi e quasi me n'ero dimenticato. La mia sorpresa fu grande quando, correggendo il compito di una ragazza, vidi che operava la trasformazione che avevo insegnato in prima; ero sorpreso perché non avevo dubbi che in due anni con un altro docente il loro modo di operare si sarebbe normalizzato. Chiesi perciò alla ragazza come mai continuasse in quel modo e lei, guardandomi sorpresa, disse: " è l'unico modo in cui non sbaglio i segni".

Ricordo che al tempo in cui feci questa esperienza mi venne in mente che si sarebbe potuto fare la stessa cosa anche con la divisione, trasformandola in una moltiplicazione per l'inverso, ma mi fermai, ritenendo la usuale notazione con le frazioni più comoda nelle somme.

Un'ultima annotazione: con le regole date per la "negazione" non serve dire che -*- fa +, ma semplicemente che in una moltiplicazione con qualsivoglia numero di fattori due meno si eliminano a vicenda.

 
  C.R.D.M. 
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