Di che verifica si tratta?

Come fanno gli studenti a sapere se la trasformazione eseguita è corretta? Di solito vanno a vedere la soluzione del libro.

Il problema è che nelle situazioni reali o nei compiti in classe questo non è possibile. Per questo non trovo tanto educativa la presenza delle soluzioni nei libri, e infatti da un certo anno in poi ho dato per casa solo esercizi non presenti nel libro di testo.

Naturalmente in cambio bisognerebbe che gli studenti avessero uno strumento per controllare da soli l'esattezza delle proprie soluzioni. Per le equazioni, per esempio, ce l'hanno.
E per controllare se due espressioni letterali sono equivalenti? Avendo a disposizione un CAS sarebbe facile, ma vent'anni fa (e per certi versi anche oggi) non era una soluzione proponibile. La necessità di trovare un modo alternativo mi nacque quando dal 1998 iniziai a progettare il software EASYpTEST per somministrare i compiti in classe via internet: le risposte a certi tipi di esercizi di matematica possono essere espressioni letterali e, volendo una correzione automatica da parte del computer, bisogna confrontare la risposta dello studente con quella prevista dal docente e determinare se sono equivalenti.
Quindi avrei dovuto implementare un CAS? Non ne sarei stato capace: alcuni anni dopo mi imbattei nel bellissimo sito francese 123math che  faceva più o meno la stessa cosa e notai che loro sì avevano implementato un CAS in Java_Script con un numero mostruoso di righe di codice che deve aver richiesto chissà quanto tempo. Io invece trovai una soluzione più spartana, ma ugualmente efficace, usando un codice abbastanza contenuto da potersi scrivere in poche righe, ed è quella che proposi alle mie classi dal 2000.

La tecnica si potrebbe riassumere con questo breve dialogo tra studente e docente.

D: Ora hai terminato l'esercizio e vorresti sapere se hai fatto bene. Che tipo di esercizio hai svolto?
S: Ho trasformato un'espressione letterale in altre equivalenti fino all'ultima che deve essere equivalente a quella iniziale.
D: Cosa significa equivalenti?
S: Due espressioni sono equivalenti se sostiuendo alle lettere dei numeri a piacere le due espressioni danno sempre due risultati numerici uguali.
D: Quindi datti da fare e prova.
S: A fare che cosa?
D: A sostituire i numeri a piacere nell'espressione iniziale e in quella finale e a controllare se danno lo stesso risultato.
S: Fatto!
A questo punto si aprono due possibilità.
Primo caso:
D: Come sono i risultati?
S: Diversi.
D: Quindi cosa concludi?
S: Le espressioni non sono equivalenti e quindi ho sbagliato.
D: Potresti sapere in quale passaggio hai cominciato a sbagliare?
S: Basta che confronti il risultato dell'espressione iniziale, già calcolato, con quello delle espressioni intermedie.
Secondo caso:
D: Come sono i risultati?
S: Uguali.
D: Quindi cosa concludi?
S: Che le espressioni sono equivalenti e non ho sbagliato.
D: Purtroppo non è una coclusione corretta, perché anche se due espressioni non sono equivalenti ci possono essere particolari numeri per cui assumono lo stesso valore. Però se prendi dei numeri a caso è abbastanza improbabile che trovi proprio questi. Quindi una conclusione onesta sarebbe questa: è abbastanza probabile che il mio risultato sia corretto. Se tu volessi aumentare la probabilità di aver fatto bene potresti provare con altri numeri. Vedi tu quando ti senti tranquillo.

L'idea di provare con dei numeri all'inizio crea un po' di sconcerto (anche in studenti del liceo che ho aiutato), perché richiede ulteriore lavoro quando lo studente crede di avere già finito, e infatti ho riscontrato una certa ritrosia negli studenti, che sono abituati ad esercizi che si concludono rapidamente. La mia intenzione era di provare ad abituarli ad una specie di "slow math", in cui non è importante arrivare rapidamente al risultato ma lavorare con calma fino ad avere degli argomenti per convincersi che il risultato ottenuto è corretto: in altri compiti di altri anni scrivevo esplicitamente nella consegna che avrei valutato più favorevolmente un lavoro in cui i risultati fossero ben argomentati, anche se pochi o errati, rispetto ad uno con tutti gli esercizi svolti ma senza argomentazione sulla corretteza. 
Sapendo che il calcolo di espressioni numeriche può essere abbastanza noioso e che buona parte dei miei studenti erano molto inclini agli errori di calcolo, decisi fin dall'inizio dell'anno di invitarli ad usare una calcolatrice scientifica (allora la cosa a molti poteva sembrare blasfema, ora pare che anche il MIUR l'abbia sdoganata) , con il risultato che anche quelli storicamente avversi alla matematica per la scarsa capacità nel calcolo si sentirono alla pari degli altri e in qualche modo si riappacificarono con la materia seguendo con profitto l'introduzione dell'algebra.

Benché la tecnica descritta dia la certezza se due espressioni non sono equivalenti, ma solo una buona probabilità che lo siano, nei miei software EASYpTEST e EASYpMATH ho usato la tecnica di sostituire due set di numeri casuali e non mi è mai capitato che il metodo desse una risposta sbagliata (anche perché usando numeri con 15 cifre significative è quasi impossibile imbattersi proprio  in una delle soluzioni dell'equazione che ha per membri le due espressioni).

Nella prossima pagina ci sono i riferimenti a documenti che descrivono più in dettaglio la realizzazione in classe di quanto qui succintamente esposto.