Regula falsi duplicis positionis

La prima cosa è decidere a quale quantità assegnare il numero a caso. Di solito è quella richiesta come risultato del problema, ma in alcuni casi viene più semplice sceglierne un'altra da cui sia poi facile ricavare quella richiesta. In alcuni problemi (tipico quello sui rubinetti) manca un dato  (nel caso in esempio la capienza della vasca) perché non influisce sul risultato, però per fare le prove sarebbe utile averlo e quindi si può fissarlo a caso.

Poi bisogna avere in mente quali sono le quantità da confrontare per sapere se il numero di prova è giusto. Spesso una delle due è un dato del problema, come nel caso del nostro problema  (96), ma a volte ambedue devono essere calcolate, come in questo esempio: "Mario ha il doppio di figurine di Paolo, però se Mario dà 20 figurine a Paolo vengono ad averne lo stesso numero ciascuno. Quante figurine aveva Mario?" , in cui i numeri da confrontare sono le figurine possedute da ognuno dopo lo scambio, entrambi da calcolare.

Ora bisogna effettuare due prove con due numeri diversi scelti a caso (o in modo oculato per avere calcoli più semplici).

Ogni prova si conclude con il confronto di due numeri, come nel nostro esempio, uno a sinistra dell'uguale e uno a destra. Ora si calcola l'errore, che è la differenza tra i due numeri, da effettuare con qualche accorgimento che vado ad illustrare.
Se l'allievo ha già una certa dimestichezza con i numeri con segno, per esempio in terza media, basta decidere una volta per tutte in quale verso fare la differenza (per esempio il numero di destra meno quello di sinistra) e calcolarla con segno.
Se invece non si è abituati ad usare i numeri con segno, come nella scuola elementare o come succedeva a tutti fino a pochi secoli fa, bisogna comunque tenere nota della grandezza relativa dei due numeri da confrontare. Si potrebbe per esempio usare i simboli di disuguaglianza,< e >, per dire se il numero di sinistra è minore o maggiore di quello di destra, oppure un - o un + per dire se quello di sinistra è meno o più grande di quello di destra, o qualsiasi altra notazione che tenga conto della relazione d'ordine tra i due numeri. Diciamo in ogni caso che ogni errore è accompagnato da un suo "segno". Dopo di questo la differenza si fa togliendo il numero più piccolo da quello più grande. (Nota: qui si assume che i due numeri risultanti dal calcolo siano positivi, come succede quasi sempre).

Fatte le due prove e ottenuti i due errori accompagnati dal relativo "segno" (comunque simboleggiato), si può applicare la regola e ottenere il risultato. Se indico con p1 e p2 i due numeri di prova e con e1 e e2 i rispettivi errori, la formula che dà il risultato è

(e1*p2-e2*p1)/(e1-e2)

in cui tutte le quantità devono essere prese con il loro segno algebrico.

Però se uno non sa ancora operare con i numeri con segno si può rimediare facilmente in questo modo:

se davanti ai due numeri c'è lo stesso "segno", la formula precedente va bene se e1 è maggiore di e2, altrimenti si usa quest'altra scambiando l'ordine dei due errori: (e2*p1-e1*p2)/(e2-e1) (questo per non ritrovarsi con risultati negativi)

se davanti ai due numeri ci sono due "segni" diversi allora nella formula al posto del meno bisogna usare il più, ossia (e1*p2+e2*p1)/(e1+e2)

Ritornando al nostro problema come esempio, farei una tabella come questa:

prova	sinistra	segno	destra	errore
10	52	<	96	44
15	72	<	96	24

da cui il risultato viene (44*15-24*10)/(44-24)=21

ma se come secondo numero avessi scelto per esempio 30, la tabella sarebbe stata così

e il calcolo sarebbe (44*30+36*10)/(44+36)=21

Osservando la prima tabella si intuisce che per arrivare al risultato il nostro allievo avrebbe potuto procedere anche in altro modo: notando che aumentando di 5 il numero di prova l'errore cala di 20, significa che se aumento di 1 il numero l'errore cala di 4, e siccome per arrivare a errore zero mi manca 24, devo aumentare ancora il numero di 6, arrivando a 21. In effetti la regola che abbiamo usato non è che una forma diversa di questo ragionamento in cui la supposizione soggiacente è che le variazioni dell'errore siano proporzionali alle variazioni del numero di prova. Questa proporzionalità è il requisito fondamentale perché la regola funzioni, e in questo caso si dice che l'errore dipende linearmente dal numero di prova: in effetti ponendo in un riferimento cartesiano il numero di prova in ascissa e l'errore in ordinata, il grafico che risulta è una retta e la regula falsi fornisce l'ascissa del punto in cui la retta taglia l'asse delle ascisse. I problemi di questo tipo sono frequenti nella pratica, perché la gente è portata a pensare in modo proporzionale, e l'abilità a trattare questo tipo di questioni secondo me è fondamentale.

Naturalmente ci sono anche problemi non "lineari" e in questo caso la regola fallisce: per questo, una volta applicata, è sempre necessario controllare se il numero trovato riduce l'errore a zero; in caso contrario vuol dire che, se non si sono sbagliati i calcoli, il problema non è "lineare". Ma anche in questo caso non tutto è perduto: spesso continuando ad applicare la regola con nuovi numeri di prova si riesce a rendere l'errore piccolo quanto si vuole, ottenendo una soluzione approssimata che nei problemi reali è più che sufficiente.

(considerazioni finali alla prossima pagina)