Eulero cerca una dimostrazione

Gli articoli di Eulero sui poliedri sono due, uno scritto nel 1750 e uno nel 1751, e comparsi a stampa insieme nel 1758 a San Pietroburgo.

Il primo è intitolato ELEMENTA DOCTRINAE SOLIDORUM e presenta un tentativo di classificare i poliedri, sulla falsariga di quanto già noto in geometria piana per i poligoni. In geometria solida (Stereometria) bisogna considerare tre tipologie di elementi: 1) punti (lui dice Anguli solidi perché non era ancora usuale distinguere l'angolo dal suo vertice, ma noi diremo Vertici) , 2) linee (lui dice Acies, vocabolo che indica la punta di uno strumento da taglio, per indicare gli Spigoli dove due facce si incontrano) , 3) superfici (lui dice Hedrae, secondo l'uso corrente, e noi diciamo Facce). Variando questi tre tipi di elementi si ottengono differenti tipologie di poliedri. Quello che deve aver sorpreso Eulero è che non si possono variare tutti e tre a piacere, ma dati due il terzo rimane determinato.
L'articolo è piuttosto lungo ed enuncia varie proposizioni sui poliedri, anche con dimostrazioni. Per esempio, la prima dice che il numero degli spigoli è la metà del numero di angoli piani (gli angoli delle facce), da cui come corollario segue che il numero di angoli piani deve essere sempre pari e da questo che se le facce sono tutti triangoli devono essere in numero pari. La Propositio IV è la nostra ed Eulero ammette onestamente di non essere ancora riuscito a trovare una dimostrazione convincente, benché in tutti i casi esaminati si sia dimostrata vera.

Nelle proposizioni VIII e IX dimostra che la somma di tutti gli angoli piani è uguale a 4A-4H retti, oppure a 4S-8 retti ( nella nostra notazione italiana diremmo che la somma degli angoli piani è \( 2\pi (S-F) \) oppure  \( 2\pi (V-2) \) ). La dimostrazione è interessante e la riassumo brevemente usando la nostra notazione:
mettiamo che le facce siano costituite da a triangoli, b quadrilateri, c pentagoni, etc.
il numero di spigoli sarà \( S=\frac{1}{2}\left ( 3a+4b+5c+.. \right ) \) perché nella somma tra parentesi ogni spigolo è contato due volte
il numero delle facce è \( F=a+b+c+... \)
la somma degli angoli piani delle facce è \(  P= \pi \left ( a+2b+3c+... \right ) \)
un semplice calcolo mostra che \( 2 \pi \left ( S-F \right ) = \pi \left ( a+2b+3c+... \right ) =P \) Q.E.D.
Per dimostrare che questa quantità è uguale a \( 2\pi (V-2) \) ricorre alla Propositio IV, non ancora dimostrata.

Nelle altre proposizioni dimostra delle disequazioni che i numeri dei vari elementi devono soddisfare, e costruisce anche una interessante tabella che mostra quali sono le possibili combinazioni di V,S,F che si possono trovare nei poliedri. Eulero fa notare che per esempio non ci sono poliedri con 7 spigoli.

Quello che ogni tanto rimarca è che gli manca la dimostrazione della formula più importante.